3-约束优化方法 选择题作业-复习题
题量：45 题 ｜ 满分：100 分
一、单选题（共 45 题，100 分）
1. 在信赖域方法中，用来衡量预测函数与实际函数之间拟合质量的比值 $r_k$ 的表达式是？
A. $r_k=\dfrac{f(\boldsymbol{x}_k)-f(\boldsymbol{x}_k+\boldsymbol{d}_k)}{q_k(\boldsymbol{0})-q_k(\boldsymbol{d}_k)}$
B. $r_k=\dfrac{f(\boldsymbol{x}_k+\boldsymbol{d}_k)-f(\boldsymbol{x}_k)}{q_k(\boldsymbol{d}_k)-q_k(\boldsymbol{0})}$
C. $r_k=\dfrac{q_k(\boldsymbol{d}_k)}{f(\boldsymbol{x}_k+\boldsymbol{d}_k)}$
D. $r_k=\dfrac{\|q_k(\boldsymbol{d}_k)\|_2}{\|\nabla f(\boldsymbol{x}_k)\|_2}$
2. 当比值 $r_k<\eta$，且 $\eta$ 是一个小正数时，通常表明什么？
A. 预测函数与实际函数吻合良好
B. 信赖域半径 $\Delta_k$ 应该增大
C. 预测函数与实际函数吻合较差，应减小信赖域半径 $\Delta_k$
D. 当前迭代已收敛
3. 在信赖域方法中，以下哪种描述最准确地体现了其核心思想？
A. 每次迭代通过构造一个泰勒展开模型来近似原问题，并在整个空间中寻找最优解。
B. 每次迭代中，通过调整步长大小来保证收敛性，而不需要构造子问题。
C. 每次迭代构造一个局部模型，并在一定的信赖域范围内求解该子问题，以得到新的迭代点。
D. 信赖域方法本质上是梯度法的一种推广形式。
4. 信赖域方法中，信赖域半径的主要作用是什么？
A. 控制每次迭代的步长大小，避免过大扰动引起的误差。
B. 用来确定目标函数的凸性。
C. 作为收敛性的判据，一旦小于某个阈值，就停止迭代。
D. 用于计算梯度估计的精度。
5. 下列哪个条件最常用于更新信赖域半径？
A. 目标函数值的变化率。
B. 梯度下降方向的长度。
C. 实际减量与预测减量的比率。
D. Hesse 矩阵的最大特征值。
6. 在信赖域方法中，下列哪一个是信赖域子问题最常用的信赖域问题模型？
A. 线性模型。
B. 二次模型。
C. 三次模型。
D. 指数模型。
7. 在信赖域方法中，若模型预测下降量与实际下降量之比大于某个阈值（如 0.75），则信赖域半径通常如何变化？
8. 在信赖域方法中，当模型预测下降量小于某个阈值（如 0.25）时，通常如何调整信赖域半径？
A. 增大
B. 减小
C. 保持不变
D. 视情况而定
9. 在约束优化问题中，下列哪个条件是 KKT 条件的一部分？
A. 目标函数的梯度为零
B. 约束函数的梯度为零
C. 可行性条件（满足约束）
D. 目标函数是凸函数
10. 在非线性优化问题中，KKT 条件是以下哪种类型的最优性条件？
A. 充分必要条件
B. 充要条件
C. 必要但不充分条件
D. 充分但不必要条件
11. 考虑一个等式约束优化问题 $\min f(\boldsymbol{x})$ s.t. $h(\boldsymbol{x})=0$，其中 $f,h:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 是光滑函数。根据最优性一阶条件，如果 $\boldsymbol{x}^*$ 是局部极小值点且满足约束条件，则存在某个 $\lambda^*\in\mathbb{R}$，使得成立：
A. $\nabla f(\boldsymbol{x}^*)+\lambda^* h(\boldsymbol{x}^*)=\boldsymbol{0}$
B. $\nabla f(\boldsymbol{x}^*)+\lambda^*\nabla h(\boldsymbol{x}^*)=\boldsymbol{0}$
C. $\nabla h(\boldsymbol{x}^*)=\boldsymbol{0}$
D. $\nabla f(\boldsymbol{x}^*)=\boldsymbol{0}$
12. 设 $f(\boldsymbol{x})=x_1^2+x_2^2$，$h(\boldsymbol{x})=x_1+x_2-1=0$。考虑优化问题：$\min f(\boldsymbol{x})$ s.t. $h(\boldsymbol{x})=0$。那么，在局部极小值点 $\boldsymbol{x}^*=(0.5,0.5)$ 处，拉格朗日乘子 $\lambda^*$ 的值是：
A. $\lambda^*=1$
B. $\lambda^*=0.5$
C. $\lambda^*=2$
D. $\lambda^*=-1$
13. 在等式约束优化问题中，若目标函数 $f(\boldsymbol{x})$ 和约束函数 $h(\boldsymbol{x})$ 在某点 $\boldsymbol{x}^*$ 是二阶连续可微的，并且满足 KKT 条件，那么为了判断该点是否是最优解，还需要检验：
A. 海森矩阵 $\nabla^2 f(\boldsymbol{x}^*)$ 是否正定
B. 海森矩阵 $\nabla^2 f(\boldsymbol{x}^*)+\lambda^*\nabla^2 h(\boldsymbol{x}^*)$ 是否正定
C. 拉格朗日函数的海森矩阵在可行方向上的投影是否半正定
D. 梯度 $\nabla f(\boldsymbol{x}^*)$ 是否为零向量
14. 对于不等式约束优化问题，若存在某个点 $\boldsymbol{x}^*$，使得其对应的拉格朗日乘子 $\lambda_i>0$，那么下列哪项描述是正确的？
A. $g_i(\boldsymbol{x}^*)<0$
B. $g_i(\boldsymbol{x}^*)>0$
C. $g_i(\boldsymbol{x}^*)=0$
D. 无法确定 $g_i(\boldsymbol{x}^*)$ 的符号
15. 在不等式约束优化问题中，若 $\boldsymbol{x}^*$ 是可行点但不满足互补松弛性，则意味着：
A. $\boldsymbol{x}^*$ 是局部最优解
B. 存在某些 $\lambda_i<0$
C. $\boldsymbol{x}^*$ 不可能是局部最优解
D. 该问题没有解
16. 设 $f(\boldsymbol{x})$ 是连续可微函数，且考虑混合约束优化问题：$\min\limits_{\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n} f(\boldsymbol{x})$，s.t. $h_i(\boldsymbol{x})=0$，$i\in E$；$g_j(\boldsymbol{x})\ge 0$，$j\in I$。$\boldsymbol{x}^*$ 在其局部极小值点处满足 KKT 条件，那么下列哪一个条件不是必要条件？
A. 梯度 $\nabla f(\boldsymbol{x}^*)$ 可以由约束函数梯度线性组合表示。
B. 对于不等式约束 $g_j(\boldsymbol{x})$，其对应的 Lagrange 乘子 $\lambda_j\ge 0$。
C. 对于不等式约束 $g_j(\boldsymbol{x})$，当 $g_j(\boldsymbol{x}^*)>0$ 时，对应的 Lagrange 乘子 $\lambda_j$ 必须为 0。
D. Lagrange 乘子向量 $\lambda$ 和 $\mu$ 必须同时非零。
17. 在应用 Zoutendijk 可行方向法时，对于当前迭代点 $\boldsymbol{x}_k$，我们如何确定一个可行方向 $\boldsymbol{d}_k$？
A. 通过梯度方向直接确定
B. 通过最小化目标函数的负梯度
C. 通过求解一个线性规划子问题
D. 通过随机选择一个方向
18. 在 Zoutendijk 可行方向法中，如何确定步长因子？
A. 通过最大化目标函数值
B. 通过最小化目标函数值并满足约束条件
C. 固定步长，无需调整
D. 随机选取步长以增加多样性
19. 在最优化问题中，外罚函数法通过构造一个惩罚函数来处理约束条件。以下哪种描述最准确地反映了外罚函数的作用？
A. 外罚函数能够保证每次迭代都产生可行解。
B. 外罚函数在不可行区域对目标函数施加惩罚，以引导最优解向可行域移动。
C. 外罚函数在可行区域内对目标函数施加惩罚，以防止最优解超出边界。
D. 外罚函数在每次迭代中自动调整初始点，使其接近最优解。
20. 对于不等式约束 $g_j(\boldsymbol{x})\ge 0$，下列哪个函数是最常用于构造外罚函数的惩罚项形式？
A. $\displaystyle\sum_{i=1}^{m}\min\big(g_i(\boldsymbol{x}),0\big)^2$
B. $\displaystyle\sum_{i=1}^{m}\big|g_i(\boldsymbol{x})\big|^2$
C. $\displaystyle\sum_{i=1}^{m}\big(g_i(\boldsymbol{x})\big)^2$
D. $\displaystyle\sum_{i=1}^{m}g_i(\boldsymbol{x})$
21. 在构造无约束优化问题时，外罚函数法将原问题的约束条件如何处理？
A. 转化为目标函数的一部分。
B. 忽略掉，直接优化目标函数。
C. 转化为等式约束。
D. 转化为变量的上下限。
22. 在下列哪种情况下，外罚函数法的惩罚项不会起作用？
A. 当前点位于可行域内。
B. 当前点位于不可行域内。
C. 当前点位于任意位置。
D. 当前点位于最优解附近。
23. 在无约束优化问题中，外罚函数法的目标函数形式通常为：
A. $f(\boldsymbol{x})+\sigma_k P(\boldsymbol{x})$
B. $f(\boldsymbol{x})-\sigma_k P(\boldsymbol{x})$
C. $\sigma_k f(\boldsymbol{x})+P(\boldsymbol{x})$
D. $f(\boldsymbol{x})+\sigma_k\boldsymbol{x}$
24. 假设我们使用外罚函数法求解约束优化问题，初始点选择在不可行域内，那么随着惩罚因子 $\sigma_k$ 的增大，迭代点会如何变化？
A. 迭代点将更加远离可行域。
B. 迭代点将逐渐向可行域外移动。
C. 迭代点将逐渐向可行域内逼近。
D. 迭代点保持不变。
25. 外罚函数法与内罚函数法的主要区别在于：
A. 外罚函数法不适用于不等式约束，而内罚函数法适用于不等式约束。
B. 外罚函数法允许初始点在不可行域内，而内罚函数法不允许。
C. 外罚函数法不允许初始点在不可行域内，而内罚函数法允许。
D. 外罚函数法总是更快收敛，而内罚函数法收敛较慢。
26. 在使用外罚函数法时，惩罚项 $P(\boldsymbol{x})$ 的选择应当满足以下哪个条件？
A. 惩罚项在可行域内为零，在不可行域内为负。
B. 惩罚项在可行域内为正，在不可行域内为零。
C. 惩罚项在可行域内为零，在不可行域内为正。
D. 惩罚项在可行域和不可行域内均为零。
27. 下列哪一项是外罚函数法的优势之一？
A. 初始点必须位于可行域内。
B. 惩罚项的选择非常简单，无需考虑约束形式。
C. 允许初始点在不可行域内，对初始点的选择不敏感。
D. 惩罚项不会对目标函数产生影响。
28. 在内点法中，用于避免违反约束的障碍函数通常是下列哪一种形式？
A. $-\displaystyle\sum_{i=1}^{m}\ln\big(g_i(\boldsymbol{x})\big)$
B. $\displaystyle\sum_{i=1}^{m}g_i(\boldsymbol{x})$
C. $\displaystyle\sum_{i=1}^{m}\big|g_i(\boldsymbol{x})\big|$
D. $\displaystyle\prod_{i=1}^{m}g_i(\boldsymbol{x})$
29. 内点法适用于以下哪种最优化问题类型？
A. 等式约束优化问题
B. 不等式约束优化问题
C. 无约束优化问题
D. 整数规划问题
30. 下列哪一项是内点法的一个关键特征？
A. 初始点必须在可行域边界
B. 初始点可以在不可行域内
C. 初始点必须在可行域内部
D. 初始点可以是任意点
31. 在内点法的每次迭代中，障碍参数会如何变化？
A. 逐渐增大
B. 逐渐减小
C. 保持不变
D. 随机变化
32. 内点法中，障碍函数的主要作用是什么？
A. 增加计算复杂度
B. 惩罚接近可行域边界的点
C. 提高收敛速度
D. 简化目标函数
33. 内点法与外点法的主要区别在于什么？
A. 外点法允许迭代点进入不可行区域
B. 内点法允许迭代点进入不可行区域
C. 外点法不需要初始化
D. 内点法比外点法更慢
34. 乘子法和罚函数法的主要区别是什么？
A. 乘子法适用于非凸问题，而罚函数法只适用于凸问题
B. 乘子法引入了拉格朗日乘子，而罚函数法没有
C. 乘子法不需要迭代求解，而罚函数法需要
D. 罚函数法更适合大规模问题
35. 在使用外罚函数法求解约束优化问题时，若原问题的目标函数是 $f(\boldsymbol{x})$，约束条件是 $\boldsymbol{h}_i(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{0}$ 和 $g_j(\boldsymbol{x})\ge 0$，则构造的外罚函数形式通常为：
A. $f(\boldsymbol{x})+\sigma\displaystyle\sum_{i=1}^{l}\big|h_i(\boldsymbol{x})\big|^2+\sigma\displaystyle\sum_{j=1}^{m}\big[min\big(g_j(\boldsymbol{x}),0\big)\big]^2$
B. $f(\boldsymbol{x})+\sigma\displaystyle\sum_{i=1}^{l}\big|h_i(\boldsymbol{x})\big|+\sigma\displaystyle\sum_{j=1}^{m}\big|g_j(\boldsymbol{x})\big|$
C. $f(\boldsymbol{x})+\sigma\displaystyle\sum_{i=1}^{l}\big|h_i(\boldsymbol{x})\big|^3+\sigma\displaystyle\sum_{j=1}^{m}\big[min\big(g_j(\boldsymbol{x}),0\big)\big]^3$
D. $f(\boldsymbol{x})+\sigma\displaystyle\sum_{i=1}^{l}\big|h_i(\boldsymbol{x})\big|^2+\sigma\displaystyle\sum_{j=1}^{m}\big|g_j(\boldsymbol{x})\big|^2$
36. 当使用外罚函数法求解时，随着惩罚因子 $\sigma$ 逐步增大，下列描述最准确的是：
A. 外罚函数的最小值会越来越接近原始约束问题的最优值
B. 外罚函数的最小值会远离原始约束问题的最优值
C. 外罚函数的最小值不会发生变化，只是计算效率降低
D. 外罚函数的最小值会突然跳到某个不可预测区域
37.在最优化问题中，外罚函数法用于处理约束条件的方式是通过构造一个目标函数，使得约束违反越严重，目标函数值越（ ），从而促使迭代过程趋向可行域。
38. 外罚函数法适用于哪些类型的约束优化问题？
A. 仅有等式约束的问题
B. 仅有不等式约束的问题
C. 等式和不等式约束都存在的问题
D. 无约束优化问题
39. 在使用外罚函数法时，若得到的无约束优化问题解 $\boldsymbol{x}_k$ 并不满足约束条件，合理的处理方式是：
A. 增大惩罚因子 $\sigma$ 并重新求解
B. 减小惩罚因子 $\sigma$ 并重新求解
C. 调整初始解，再次求解
D. 放弃当前结果，直接使用 $\boldsymbol{x}_k$ 作为最终解
40. 关于外罚函数法中的惩罚因子 $\sigma$，下面哪一项描述是正确的？
A. $\sigma$ 在每一步迭代中保持不变
B. $\sigma$ 通常随迭代次数增加而减小
C. $\sigma$ 通常随迭代次数增加而增大
D. $\sigma$ 的作用是减少目标函数的维度
41. 在内点法中，障碍函数的主要作用是什么？
A. 增加目标函数的计算复杂度
B. 将原问题转化为无约束问题
C. 减少梯度下降法的迭代次数
D. 降低收敛速度
42. 在内点法中，随着障碍参数逐渐减小，会发生什么现象？
A. 最优解向可行域外部移动
B. 最优解向可行域内部靠近
C. 最优解逐渐接近原问题的最优解
D. 最优解远离原问题的最优解
43. 在内点法的迭代过程中，随着障碍参数 $\tau$ 趋近于零，搜索方向会如何变化？
A. 逐渐趋近于原问题的最优解
B. 逐渐远离原问题的最优解
C. 保持不变
D. 变得不稳定，导致发散
44. 在使用乘子法求解约束优化问题时，下列说法中哪一项是正确的？
A. 乘子法适用于所有非凸优化问题
B. 当惩罚项权重逐渐增加时，乘子法的收敛速度一定加快
C. 乘子法通过引入拉格朗日乘子和惩罚项来处理不等式约束
D. 乘子法无法避免迭代结果在可行域外的情况
45. 在乘子法中，为了处理约束条件，引入了额外的惩罚项，该惩罚项通常与哪个参数直接相关？
A. 步长参数
B. 梯度下降方向
C. 拉格朗日乘子
D. 目标函数值