9. 设 $f(x_1,x_2)=x_1^3+3x_1x_2+2x_2^2$，则 $f$ 在点 $(1,1)^T$ 处的梯度是
A. $\begin{bmatrix}6\\7\end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix}0\\5\end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix}9\\4\end{bmatrix}$
11. 梯度向量 $\nabla f(\boldsymbol{x})$ 的方向是：
A. 函数 $f(\boldsymbol{x})$ 的最大下降方向
B. 函数 $f(\boldsymbol{x})$ 的等高线切线方向
C. 函数 $f(\boldsymbol{x})$ 在该点的最大上升方向
D. 函数 $f(\boldsymbol{x})$ 的水平方向
12. 设 $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 在点 $\boldsymbol{x}_0$ 处二阶连续可微，那么其二阶泰勒展开式的误差项 $o(\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0\|^2)$ 指的是：
A. 比 $\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0\|^2$ 更高阶的无穷小
B. 与 $\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0\|^2$ 同阶的无穷小量
C. 比 $\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0\|^2$ 更低阶的无穷小量
D. 与 $\|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_0\|^2$ 无关的量
13. 设 $f(x,y)=e^{xy}$，则其在点 $(0,0)$ 处的 Hesse 矩阵是：
A. $\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}$
14. 函数 $f(x,y)=x^3+y^3-3xy$ 在 $(1,1)$ 处的 Hesse 矩阵为：
A. $\begin{bmatrix}6&-3\\-3&6\end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix}3&-1\\-1&3\end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix}6&0\\0&6\end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}$
15. 设集合 $S\subseteq\mathbb{R}^n$，若对于任意 $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in S$ 和任意标量 $\lambda\in[0,1]$，都有 $\lambda\boldsymbol{x}+(1-\lambda)\boldsymbol{y}\in S$，则称集合 $S$ 是什么？
17. 设 $\mathcal{C}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的一个凸集，$\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2\in\mathcal{C}$，且 $\boldsymbol{x}=\dfrac{1}{2}\boldsymbol{x}_1+\dfrac{1}{2}\boldsymbol{x}_2$，则 $\boldsymbol{x}$ 的位置是？
A. 一定不属于 $\mathcal{C}$
B. 可能属于也可能不属于 $\mathcal{C}$
C. 一定属于 $\mathcal{C}$
D. 在 $\mathcal{C}$ 的边界上
19. 设 $\mathcal{C}$ 是一个凸集，若 $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\dots,\boldsymbol{x}_k\in\mathcal{C}$，且 $\displaystyle\sum_{i=1}^{k}\lambda_i=1$，其中 $\lambda_i\ge 0$，则以下哪项一定成立？
A. $\displaystyle\sum_{i=1}^{k}\lambda_i\boldsymbol{x}_i\notin\mathcal{C}$
B. $\displaystyle\sum_{i=1}^{k}\lambda_i\boldsymbol{x}_i\in\mathcal{C}$
C. $\displaystyle\sum_{i=1}^{k}\lambda_i\boldsymbol{x}_i=\boldsymbol{x}_j$ 对某个特定 $j$ 成立
D. 以上都不对
20. 下列哪一组集合是凸集？
A. $[0,1]\cup[2,3]$
B. $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2=1\}$
C. $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x+y\le 1,\ x\ge 0,\ y\ge 0\}$
D. $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 0
21. 设 $S_1, S_2$ 是凸集，那么下列哪个集合一定也是凸集？
A. $S_1\cap S_2$
B. $S_1\cup S_2$
C. $S_1\setminus S_2$
D. $S_2\setminus S_1$
22. 设 $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 是二阶连续可微函数，其 Hessian 矩阵为 $\nabla^2 f(\boldsymbol{x})$。若对于任意 $\boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^n$，$\nabla^2 f(\boldsymbol{x})$ 是正定矩阵，则下列哪一项是正确的？
A. $f$ 是严格凸函数。
B. $f$ 是凹函数。
C. $f$ 是非凸函数。
D. $f$ 既不是凸函数也不是凹函数。
23. 设 $f$ 是定义在凸集 $\mathcal{C}\subseteq\mathbb{R}^n$ 上的连续函数。若对于任意 $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in\mathcal{C}$ 和 $\theta\in[0,1]$，有 $f(\theta\boldsymbol{x}+(1-\theta)\boldsymbol{y})\le\theta f(\boldsymbol{x})+(1-\theta)f(\boldsymbol{y})$，则 $f$ 是什么类型的函数？
A. 严格凸函数
B. 一致凸函数
C. 凸函数
D. 非凸函数
24. 设 $f(\boldsymbol{x})$ 是凸函数，且 $\boldsymbol{x}^*$ 是 $f$ 在某个闭凸集上的最小值点。则下列哪项一定成立？
A. $\nabla f(\boldsymbol{x}^*)=\boldsymbol{0}$
B. $\boldsymbol{x}^*$ 是唯一的最小值点。
C. $\boldsymbol{x}^*$ 是全局最小值点。
D. $\boldsymbol{x}^*$ 是局部最小值点。
25. 设 $f(\boldsymbol{x})$ 是凸函数，$c$ 是常数。考虑函数 $g(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x})+c$，下列哪一项是正确的？
A. $g(\boldsymbol{x})$ 是一致凸函数。
B. $g(\boldsymbol{x})$ 是非凸函数。
C. $g(\boldsymbol{x})$ 仍是凸函数。
D. $g(\boldsymbol{x})$ 的凸性取决于 $c$ 的符号。
26. 设 $f(\boldsymbol{x})$ 是定义在凸集 $\mathcal{C}$ 上的二阶可微函数。若对于所有 $\boldsymbol{x}\in\mathcal{C}$，$\nabla^2 f(\boldsymbol{x})$ 是半正定的，则 $f(\boldsymbol{x})$ 是什么类型的函数？
A. 严格凸函数
B. 凸函数
C. 一致凸函数
D. 非凸函数
27. 判断函数 $f(x)=x^2+3x+1$ 是否为凸函数。
A. 是凸函数
B. 是凹函数
C. 既不是凸也不是凹
D. 无法判断
28. 设 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 内的凸函数，则对于任意 $x_1,x_2\in[a,b]$，且 $x_1<x_2$，下列哪个不等式成立？
A. $f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\ge\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$
B. $f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\le\lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$
C. $f(x_1)+f(x_2)\ge 2f\!\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)$
D. $f(x_1+x_2)\le f(x_1)+f(x_2)$
29. 设函数 $f(\boldsymbol{x})$ 在点 $\boldsymbol{x}^*$ 处的梯度为 0 且 Hessian 矩阵为正定，则 $\boldsymbol{x}^*$ 是____。
A. 局部极小值点
B. 局部极大值点
C. 全局极大值点
D. 全局极小值点
30. 若 $f(\boldsymbol{x})$ 是一个连续可微的凸函数，则梯度为零的条件是____。
A. 局部极小值的必要非充分条件
B. 局部极小值的充分非必要条件
C. 全局极小值的充要条件
D. 局部极大值的必要非充分条件
31. 以下哪项是连续可微无约束优化中局部极小值点的必要条件？
A. $\nabla f(\boldsymbol{x}^*)=\boldsymbol{0}$
B. $\nabla^2 f(\boldsymbol{x}^*)$ 正定
C. $f(\boldsymbol{x}^*)>0$
D. $\boldsymbol{x}^*$ 是可行域的边界点
32. 对于二阶连续可微的无约束优化问题，如果 $\boldsymbol{x}^*$ 是局部极小值点，则 Hessian 矩阵 $\nabla^2 f(\boldsymbol{x}^*)$ 必须满足什么条件？
33. 在二阶连续可微无约束优化问题中，如果 $\boldsymbol{x}^*$ 满足 $\nabla f(\boldsymbol{x}^*)=\boldsymbol{0}$ 并且 $\nabla^2 f(\boldsymbol{x}^*)$ 正定，则 $\boldsymbol{x}^*$ 是什么类型的点？
A. 局部极小值点
B. 局部极大值点
C. 全局极小值点
D. 无法确定
34. 在连续可微的无约束优化问题中，若 $\boldsymbol{x}^*$ 是局部极小值点，则下列哪一项一定成立？
A. $\nabla f(\boldsymbol{x}^*)=\boldsymbol{0}$
B. $f(\boldsymbol{x}^*)>f(\boldsymbol{x})$ for all $\boldsymbol{x}$
C. $\nabla f(\boldsymbol{x}^*)\ne\boldsymbol{0}$
D. $\boldsymbol{x}^*$ 是边界点
35. 在最优化理论与算法中，算法框架通常由哪几个主要部分组成？
A. 初始化、迭代过程、终止条件
B. 目标函数、约束条件、初始点
C. 梯度计算、Hessian 矩阵、学习率
D. 模型训练、参数更新、损失评估
36. 在最优化算法的迭代框架中，每次迭代通常包含以下哪一部分？
A. 梯度下降
B. 收敛性分析
C. 搜索方向和步长计算
D. 目标函数重定义
37. 下列哪个选项不是最优化算法通用框架中的基本组成？
A. 初始解设定
B. 目标函数求导
C. 终止条件判断
D. 解的更新规则
38. 最优化算法的迭代框架中，解的更新公式通常表示为：$\boldsymbol{x}_{k+1}=\boldsymbol{x}_k+\alpha_k\boldsymbol{d}_k$，其中 $\boldsymbol{d}_k$ 表示什么？
A. 当前解的位置
B. 步长
C. 搜索方向
D. 目标函数值